Logarithmes pour les circuits analogiques

Cyrob:dB and Co 1 : Linéaire vs logarithmique (Juin 2019).

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Anonim

Logarithmes pour les circuits analogiques

Mathématiques pour l'électronique


question 1

Le concept de pouvoir mathématique est familier à la plupart des étudiants en algèbre. Par exemple, dix au troisième pouvoir signifie ceci:

10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

. . . et huit à septième puissance signifie ceci:

8 7 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 2 097 152

Tout comme la soustraction est la fonction inverse de l'addition et la division est la fonction inverse de la multiplication (car avec les fonctions inverses, l'une "défait" l'autre), il y a aussi une fonction inverse pour une puissance et nous l'appelons le logarithme .

Réécrivez l'expression 10 3 = 1000 pour qu'elle utilise les mêmes quantités (10, 3 et 1000) dans le contexte d'un logarithme au lieu d'une puissance, tout comme la soustraction est présentée ici comme étant l'inverse de l'addition, et la division se révèle être l'inverse de la multiplication dans les exemples suivants:

3 + 8 = 11 (+ et - sont des fonctions inverses) 11 - 3 = 8

2 × 7 = 14 (× et ÷ sont des fonctions inverses) 14 ÷ 2 = 7

10 3 = 1000 (les puissances et les journaux sont des fonctions inverses) log 10 "# 1"> Révéler la réponse Masquer la réponse

10 3 = 1000 (les puissances et les journaux sont des fonctions inverses) log 10 1000 = 3

Remarques:

D'après mon expérience, la plupart des étudiants américains sont malheureusement peu préparés au sujet des logarithmes lorsqu'ils étudient avec moi. Certes, les logarithmes ne sont pas autant utilisés dans la vie quotidienne que les pouvoirs (et c'est très peu pour la plupart des gens!). Les logarithmes étaient une pratique courante pour les lycéens et les collégiens, car ils étaient indispensables au fonctionnement d'une règle à calcul, un élégant appareil informatique analogique connu depuis des décennies.

Le but de cette question est double: amener les élèves à comprendre ce qu'est un logarithme et leur rappeler le concept de fonctions inverses, qui deviennent très importantes dans les circuits de calcul analogiques.

question 2

Avec l'expression mathématique suivante, écrivez-en une autre définissant un logarithme en utilisant les mêmes variables:

Si: x y = z Alors: connectez-vous ? ? =?

Révéler la réponse Masquer la réponse

Si: x y = z Alors: log x z = y

Remarques:

Rien de spécial ici. En effet, la réponse à cette question peut provenir de tout manuel d'algèbre.

question 3

Les calculateurs électroniques à capacité logarithmique ont au moins deux types de logarithmes différents: le logarithme commun et le logarithme naturel, symbolisés respectivement par "log" et "ln". Expliquez la différence entre ces deux types de logarithmes.

Révéler la réponse Masquer la réponse

La fonction de logarithme commun suppose une valeur "base" de dix, tandis que le logarithme naturel suppose une valeur de base de e (constante d'Euler).

Question de suivi: quelle est la valeur approximative de e? Comment pouvez-vous obtenir votre calculatrice pour vous donner la réponse (plutôt que de chercher dans un livre de mathématiques?

Remarques:

Certaines calculatrices vous permettent bien sûr d'extraire le logarithme de n'importe quel nombre dans n'importe quelle base. Ici, je veux simplement que les étudiants se familiarisent avec les deux fonctions logarithmiques disponibles sur les calculatrices scientifiques les plus élémentaires.

Notez que certaines calculatrices afficheront juste assez de chiffres de e pour donner la fausse impression qu'elles se répètent (dix chiffres: e = 2.718281828). Si quelqu'un suggère que e est un nombre décimal répétitif (rationnel), corrigez ce malentendu en lui disant qu'il est irrationnel, tout comme π.

Question 4

Notez les identités logarithmiques suivantes, en utilisant le logarithme "commun" (base 10):

log10 = 1

log100 = 2

log1000 = 3

log10000 = 4

Dans la première équation, les nombres 10 et 1 étaient reliés entre eux par la fonction log. Dans la deuxième équation, les numéros 100 et 2 étaient liés par la même fonction de journalisation, et ainsi de suite.

Réécrivez les quatre équations de manière à ce que les mêmes nombres soient liés les uns aux autres, mais sans écrire "log". En d'autres termes, représenter les mêmes relations mathématiques en utilisant une fonction mathématique autre que la fonction de logarithme commune.

Révéler la réponse Masquer la réponse

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

Remarques:

Une illustration comme celle-ci aide les élèves à comprendre ce que fait la fonction "log".

Question 5

Notez les identités logarithmiques suivantes, en utilisant le logarithme "commun" (base 10):

log0.1 = -1

log0.01 = -2

log0.001 = -3

log0.0001 = -4

Dans la première équation, les nombres 0.1 et 1 étaient liés ensemble par la fonction log. Dans la deuxième équation, les nombres 0.01 et 2 étaient liés ensemble par la même fonction de journal, et ainsi de suite.

Réécrivez les quatre équations de manière à ce que les mêmes nombres soient liés les uns aux autres, mais sans écrire "log". En d'autres termes, représenter les mêmes relations mathématiques en utilisant une fonction mathématique autre que la fonction de logarithme commune.

Révéler la réponse Masquer la réponse

10 -1 = 0, 1

10 -2 = 0, 01

10 -3 = 0, 001

10 -4 = 0, 0001

Remarques:

Une illustration comme celle-ci aide les élèves à comprendre ce que fait la fonction "log".

Question 6

Examinez la progression suivante des énoncés mathématiques:

(10 2 ) (10 3 ) = 100 000

10 2 + 3 = 100000

10 5 = 100000

Qu'est-ce que ce modèle indique? Quel principe d'algèbre est illustré par ces trois équations?

Ensuite, examinez cette progression des énoncés mathématiques:

log10 5 = log100000 = 5

log10 2 + 3 = log100000 = 5

log10 2 + log10 3 = log100000 = 5

Qu'est-ce que ce modèle indique? Quel principe d'algèbre est illustré par ces trois équations?

Révéler la réponse Masquer la réponse

Premier motif:

Le produit de deux nombres de base avec différents exposants est égal au nombre de base élevé à la puissance de la somme des exposants.

Deuxième modèle:

La somme de deux logarithmes est égale au logarithme de ces deux nombres.

Remarques:

Dans cette question, je souhaite que les élèves commencent à voir comment les logarithmes relient la multiplication à l'addition et comment les pouvoirs relient l'addition à la multiplication. C'est une première étape pour les étudiants qui reconnaissent les logarithmes en tant que fonctions de transformation : un moyen de transformer un type de problème mathématique en un type plus simple de problème mathématique.

Question 7

Examinez cette progression d'énoncés mathématiques:

(100) (1000) = 100000

(100) (1000) = 10 5

log ((100) (1000)) = log10 5

log100 + log1000 = log10 5

log10 2 + log10 3 = log10 5

2 + 3 = 5

Ce qui a commencé comme un problème de multiplication a fini par poser un problème supplémentaire, à travers l’application de logarithmes. Qu'est-ce que cela vous dit sur l'utilité des logarithmes en tant qu'outil arithmétique?

Révéler la réponse Masquer la réponse

Le fait que les logarithmes puissent réduire la complexité d'une équation de la multiplication à l'addition indique son utilité en tant qu'outil de simplification des problèmes arithmétiques. Plus précisément, le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des deux nombres multipliés.

Remarques:

En mathématiques, toute procédure qui réduit un type complexe de problème à un type de problème plus simple est appelée fonction de transformation, et les logarithmes sont l'un des types les plus simples de fonctions de transformation existantes.

Question 8

Supposons que vous possédiez une calculatrice scientifique avec deux boutons cassés: le multiplicateur (×) et la division (÷). Montrez comment vous pouvez résoudre ce problème de multiplication simple en utilisant uniquement des logarithmes, des additions et des antilogarithmes (puissances):

7 × 5 =? ? ?

La réponse à ce problème a été assez facile pour que vous puissiez vous débrouiller sans calculatrice, alors voici quelques problèmes pratiques à résoudre:

23 × 35 =
781 × 92 =
19, 4 × 60 =
0, 019 × 2, 6 =
Révéler la réponse Masquer la réponse

Ici, je vais vous montrer les étapes d'utilisation des logarithmes pour résoudre le premier problème de multiplication:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = 10 log7 + log5

7 × 5 = 10 0, 8451 + 0, 6990

7 × 5 = 10 1, 5441

7 × 5 = 35

Comme les autres sont assez faciles à vérifier (avec votre calculatrice non cassée!), Je laisserai leurs solutions entre vos mains.

Remarques:

Incidemment, le logarithme commun n'a rien de spécial pour justifier son utilisation exclusive dans ce problème. Nous aurions tout aussi bien pu appliquer la fonction de logarithme naturel avec le même résultat (final):

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = e ln7 + ln5

7 × 5 = e 1, 9459 + 1, 6094

7 × 5 = e 3, 5553

7 × 5 = 35

Question 9

Examinez cette progression d'énoncés mathématiques:

1000


100

= 10

1000


100

= 10 1

bûche  1000


100

  = log10 1

log1000 - log100 = log10 1

log10 3 - log10 2 = log10 1

3 - 2 = 1

Ce qui a commencé comme un problème de division a fini par poser un problème de soustraction, à travers l’application de logarithmes. Qu'est-ce que cela vous dit sur l'utilité des logarithmes en tant qu'outil arithmétique?

Révéler la réponse Masquer la réponse

Le fait que les logarithmes puissent réduire la complexité d’une équation de la division à la soustraction indique son utilité en tant qu’outil de simplification des problèmes arithmétiques. Spécifiquement, le logarithme d'un quotient est égal à la différence entre les logarithmes des deux nombres étant divisés.

Remarques:

En mathématiques, toute procédure qui réduit un type complexe de problème à un type de problème plus simple est appelée fonction de transformation, et les logarithmes sont l'un des types les plus simples de fonctions de transformation existantes.

Question 10

Supposons que vous possédiez une calculatrice scientifique avec deux boutons cassés: le multiplicateur (×) et la division (÷). Montrez comment vous pouvez résoudre ce problème de multiplication simple en utilisant uniquement des logarithmes, des additions et des antilogarithmes (puissances):

12 ÷ 3 =? ? ?

La réponse à ce problème a été assez facile pour que vous puissiez vous débrouiller sans calculatrice, alors voici quelques problèmes pratiques à résoudre:

122 ÷ 35 =
781 ÷ 92 =
19, 4 ÷ 60 =
3, 5 ÷ 0, 21 =
Révéler la réponse Masquer la réponse

Ici, je vais vous montrer les étapes d'utilisation des logarithmes pour résoudre le premier problème de multiplication:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = 10 log12 - log3

12 ÷ 3 = 10 1, 0792 - 0, 4771

12 ÷ 3 = 10 0, 6021

12 ÷ 3 = 4

Comme les autres sont assez faciles à vérifier (avec votre calculatrice non cassée!), Je laisserai leurs solutions entre vos mains.

Remarques:

Incidemment, le logarithme commun n'a rien de spécial pour justifier son utilisation exclusive dans ce problème. Nous aurions tout aussi bien pu appliquer la fonction de logarithme naturel avec le même résultat (final):

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = e ln12 - ln3

12 ÷ 3 = e 2, 4849 - 1, 0986

12 ÷ 3 = e 1, 3863

12 ÷ 3 = 4

Question 11

Examinez cette progression d'énoncés mathématiques:

(1000) 2 = 1000000

(1000) 2 = 10 6

log ((1000) 2 ) = log10 6

(2) (log1000) = log10 6

(2) (log10 3 ) = log10 6

(2) (3) = 6

Ce qui a commencé comme un problème exponentiel a fini par poser un problème de multiplication, à travers l’application de logarithmes. Qu'est-ce que cela vous dit sur l'utilité des logarithmes en tant qu'outil arithmétique?

Révéler la réponse Masquer la réponse

Que les logarithmes peuvent réduire la complexité d'une équation de l'exponentiation à la multiplication, indique son utilité en tant qu'outil pour simplifier les problèmes arithmétiques. Plus précisément, le logarithme d'un nombre élevé à une puissance est égal à cette puissance multipliée par le logarithme du nombre.

Remarques:

En mathématiques, toute procédure qui réduit un type complexe de problème à un type de problème plus simple est appelée fonction de transformation, et les logarithmes sont l'un des types les plus simples de fonctions de transformation existantes.

Question 12

Supposons que vous possédiez une calculatrice scientifique avec deux boutons cassés: la puissance (y x ) et la racine ( x

√ {y}). Démontrez comment vous pouvez résoudre ce problème de puissance simple en utilisant uniquement des logarithmes, des multiplications et des antilogarithmes (puissances):

3 4 =? ? ?

La réponse à ce problème a été assez facile pour que vous puissiez vous débrouiller sans calculatrice, alors voici quelques problèmes pratiques à résoudre:

25 6 =
564 3 =
0, 224 2 =
41 0, 3 =
Révéler la réponse Masquer la réponse

Ici, je vais vous montrer les étapes d'utilisation des logarithmes pour résoudre le premier problème de multiplication:

3 4 =? ? ?

3 4 = 10 (4 log3)

3 4 = 10 (4) (0, 4771)

3 4 = 10 1, 9085

3 4 = 81

Comme les autres sont assez faciles à vérifier (avec votre calculatrice non cassée!), Je laisserai leurs solutions entre vos mains.

Remarques:

Incidemment, le logarithme commun n'a rien de spécial pour justifier son utilisation exclusive dans ce problème. Nous aurions tout aussi bien pu appliquer la fonction de logarithme naturel avec le même résultat (final):

3 4 =? ? ?

3 4 = e (4 ln3)

3 4 = e (4) (1, 0986)

3 4 = e 4.3944

3 4 = 81

Question 13

Examinez cette progression d'énoncés mathématiques:


1000

= 10 1, 5

bûche


1000

= log (10 1.5 )

log (1000 1/2 ) = log (10 1.5 )

1


2

(log1000) = log (10 1.5 )

1


2

(log10 3 ) = log (10 1.5 )

3


2

(log10) = log (10 1.5 )

3


2

(1) = journal (10 1.5 )

3


2

= log (10 1.5 )

3


2

= 1, 5

Ce qui a commencé comme un problème d’exposant fractionnaire a fini par constituer une simple fraction, grâce à l’application de logarithmes. Qu'est-ce que cela vous dit sur l'utilité des logarithmes en tant qu'outil arithmétique?

Révéler la réponse Masquer la réponse

Le fait que les logarithmes puissent réduire la complexité d'une équation, de l'exponentiation fractionnaire aux fractions simples, indique son utilité en tant qu'outil de simplification des problèmes arithmétiques. Plus précisément, le logarithme d'une racine d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par l'index racine.

Remarques:

En mathématiques, toute procédure qui réduit un type complexe de problème à un type de problème plus simple est appelée fonction de transformation, et les logarithmes sont l'un des types les plus simples de fonctions de transformation existantes.

Question 14

Supposons que vous possédiez une calculatrice scientifique avec deux boutons cassés: la puissance (y x ) et la racine ( x

√ {y}). Démontrez comment vous pouvez résoudre ce problème racine simple en utilisant uniquement des logarithmes, des divisions et des antilogarithmes (puissances):

3


8

=? ? ?

La réponse à ce problème a été assez facile pour que vous puissiez vous débrouiller sans calculatrice, alors voici quelques problèmes pratiques à résoudre:

4 √ {13} =
5 √ {209} =
2, 5 √ {9935} =
9.2 √ {0.15} =
Révéler la réponse Masquer la réponse

Ici, je vais vous montrer les étapes d'utilisation des logarithmes pour résoudre le premier problème de multiplication:

3


8

=? ? ?

3


8

= 10 (1/3 log8)

3


8

= 10 (1/3 (0.9031))

3


8

= 10 0, 3010

3


8

= 2

Comme les autres sont assez faciles à vérifier (avec votre calculatrice non cassée!), Je laisserai leurs solutions entre vos mains.

Remarques:

Incidemment, le logarithme commun n'a rien de spécial pour justifier son utilisation exclusive dans ce problème. Nous aurions tout aussi bien pu appliquer la fonction de logarithme naturel avec le même résultat (final):

3


8

=? ? ?

3


8

= e (1/3 ln8)

3


8

= e (1/3 (2, 0794))

3


8

= e 0, 6931

3


8

= 2

Question 15

Vous vous demandez peut-être pourquoi quelqu'un voudrait utiliser des logarithmes pour résoudre des problèmes arithmétiques pour lesquels nous disposons de fonctions de calculateur électronique numérique parfaitement efficaces. Par exemple, pourquoi quelqu'un ferait ceci:

10 log7 + log5

. . . quand ils pourraient juste faire ce qui suit sur la même calculatrice?

7 × 5

La réponse rapide à cette très bonne question est "quand il est plus difficile de multiplier directement deux nombres". Le problème est que la plupart des gens ont du mal à imaginer quand il serait plus facile de prendre deux logarithmes, élever dix à ce pouvoir qu'il serait simplement multiplier les deux nombres originaux ensemble.

La réponse à ce mystère se trouve dans les circuits amplificateurs opérationnels. Comme il se trouve, il est beaucoup plus facile de construire des circuits à simple amplification qui additionnent, soustraient, exponentient ou prennent des logarithmes qu’en construisant un qui multiplie ou divise directement deux quantités (tensions analogiques).

Nous pouvons considérer ces fonctions comme des "blocs" pouvant être interconnectés pour effectuer des fonctions arithmétiques composites:

En utilisant ce modèle de "blocs" de fonctions mathématiques spécifiques, montrez comment l'ensemble de blocs de fonctions mathématiques analogiques suivants peut être connecté pour multiplier deux tensions analogiques:

Révéler la réponse Masquer la réponse

Remarques:

Le but de cette question est simple: fournir une application pratique pour les logarithmes en tant qu’aides informatiques à l’ère des appareils informatiques numériques bon marché, omniprésents.

Question 16

Les logarithmes ont des propriétés intéressantes que nous pouvons exploiter dans des circuits électroniques pour effectuer certaines opérations complexes. Dans cette question, je vous recommande d'utiliser une calculatrice manuelle pour explorer ces propriétés.

Calculez ce qui suit:

10 log3 =
log (10 8 ) =
e ln3 =
ln (e 8 ) =
10 (log3 + log5) =
e (ln3 + ln5) =
10 (log2.2 + log4) =
e (ln2.2 + ln4) =
10 (log12 - log4) =
e (ln12 - ln4) =
10 (2 log3) =
e (2 ln3) =
10 ((log25 / 2)) =
e ((ln25 / 2)) =
Révéler la réponse Masquer la réponse

10 log3 = 3
log (10 8 ) = 8
e ln3 = 3
ln (e 8 ) = 8
10 (log3 + log5) = 15
e (ln3 + ln5) = 15
10 (log2.2 + log4) = 8.8
e (ln2.2 + ln4) = 8.8
10 (log12 - log4) = 3
e (ln12 - ln4) = 3
10 (2 log3) = 9
e (2 ln3) = 9
10 ((log25 / 2)) = 5
e ((ln25 / 2)) = 5

Remarques:

Discutez des opérations mathématiques effectuées avec les constantes de ces équations en utilisant des logarithmes. Quels sont les modèles que vos élèves remarquent "méta-tags cachés">

Outils associés:

Calculateur d'atténuation de réflexion Calculateur de séparation de puissance N-Way Calculateur d'inductance de trace couplé

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